리만 기하학은 왜 대수인가?

“리만 기하학(Riemannian geometry)이 결국 대수적인 구조로 환원된다”는 말은 기하학적 개념들이 전부 대수적 객체(예: 텐서, 내적, 행렬 등)로 표현되고 조작 가능하다는 의미입니다.

아래에 그 구조를 설명해 드릴게요.

리만 기하학은 왜 대수인가?

리만 기하학은 곡률 있는 공간에서의 “거리”, “각도”, “기울기”, “부피” 같은 기하학적 개념을 다룹니다.
그런데 이 모든 개념은 다음과 같은 대수 구조로 정식화됩니다.

 1. 리만 계량(Riemannian Metric) = 대칭 2차 텐서

• 각 점 $p\in M$에서,

  ��:���×���→�gp​:Tp​M×Tp​M→R

  즉, 두 벡터 �,�∈���v,w∈Tp​M의 내적을 정의하는 양의 정부호 대칭 이중선형 함수입니다.

결과적으로 g는 좌표계에서 (n × n) 행렬처럼 다뤄집니다.

 2. 기하학적 연산 = 텐서 대수

 리만 기하가 “완전히 대수적”이라는 이유

• 리만 기하학의 대상: 다양체 $M$

• 리만 기하학의 구조: 계량 텐서 $g$

• 리만 기하학의 연산: 미분 + 텐서 연산

결국, 모든 계산은
벡터공간 위의 이중선형함수(텐서),
**그에 대한 대수적 조작(계산)**으로 환원됩니다.

예: 리만 곡률 텐서

리만 기하의 핵심인 곡률도 이런 식으로 정의됩니다:

�(�,�)�=∇�∇��−∇�∇��−∇[�,�]�R(X,Y)Z=∇X​∇Y​Z−∇Y​∇X​Z−∇[X,Y]​Z

→ 이걸 좌표계에서 성분으로 바꾸면,
완전히 지표 � ����R jkli​를 갖는 다항식 텐서 연산입니다.

결론

리만 기하학은 “곡률 공간에서의 거리/각도” 같은 직관적 개념들을 모두 “텐서 대수”라는 대수적인 언어로 정밀하게 기술하는 수학입니다.

즉, 기하학적 의미 + 대수적 연산 구조가 결합된 학문이며,
현대 물리학 (예: 일반상대성이론)의 핵심 도구가 되는 이유이기도 합니다.