홈 » 수학

리만 기하학은 왜 대수인가?

Posted on 5월 19, 20255월 19, 2025 by dailytechletter

“리만 기하학(Riemannian geometry)이 결국 대수적인 구조로 환원된다”는 말은 기하학적 개념들이 전부 대수적 객체(예: 텐서, 내적, 행렬 등)로 표현되고 조작 가능하다는 의미입니다.

아래에 그 구조를 설명해 드릴게요.

리만 기하학은 왜 대수인가?

리만 기하학은 곡률 있는 공간에서의 “거리”, “각도”, “기울기”, “부피” 같은 기하학적 개념을 다룹니다.
그런데 이 모든 개념은 다음과 같은 대수 구조로 정식화됩니다.

1. 리만 계량(Riemannian Metric) = 대칭 2차 텐서

각 점 $p \in M$ 에서,

$g_{p} : T_{p} M \times T_{p} M \to R$

즉, 두 벡터 $v, w \in T_{p} M$ 의 내적을 정의하는 양의 정부호 대칭 이중선형 함수입니다.

결과적으로 g는 좌표계에서 (n × n) 행렬처럼 다뤄집니다.

2. 기하학적 연산 = 텐서 대수

연산/개념	대수적 표현
거리	계량 $g_{ij}$ 을 통한 벡터의 norm 계산
각도	$cos θ = ∥ v ∥∥ w ∥ g ( v , w )$
곡률	리만 곡률 텐서 $R_{jk l i}$
부피	계량을 이용한 적분: $det (g) d x^{1} \land d x^{2} \land \dots$

→ 모두 **대수적인 구조(좌표, 성분, 선형연산)**으로 다뤄집니다.

리만 기하가 “완전히 대수적”이라는 이유

리만 기하학의 대상: 다양체 $M$
리만 기하학의 구조: 계량 텐서 $g$
리만 기하학의 연산: 미분 + 텐서 연산

결국, 모든 계산은
벡터공간 위의 이중선형함수(텐서),
그에 대한 대수적 조작(계산)으로 환원됩니다.

예: 리만 곡률 텐서

리만 기하의 핵심인 곡률도 이런 식으로 정의됩니다:

$R (X, Y) Z = \nabla_{X} \nabla_{Y} Z - \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{[X, Y]} Z$

→ 이걸 좌표계에서 성분으로 바꾸면,
완전히 지표 $R_{jk l i}$ 를 갖는 다항식 텐서 연산입니다.

결론

리만 기하학은 “곡률 공간에서의 거리/각도” 같은 직관적 개념들을 모두 “텐서 대수”라는 대수적인 언어로 정밀하게 기술하는 수학입니다.

즉, 기하학적 의미 + 대수적 연산 구조가 결합된 학문이며,
현대 물리학 (예: 일반상대성이론)의 핵심 도구가 되는 이유이기도 합니다.

1 form 이란?

Posted on 5월 19, 20255월 19, 2025 by dailytechletter

“1-form”은 미분기하학(differential geometry)이나 미분형식(differential forms) 이론에서 정확히 ‘미분형식’입니다. 구체적으로는

✅ 1-form이란?

1-form은 1차 미분형식입니다.
수학적으로는 벡터공간의 쌍대공간(dual space)에 속하는 선형 함수이고,
보다 직관적으로 말하면:

어떤 방향의 벡터가 주어졌을 때, 그것에 “작용해서 실수값을 주는 함수

예시: ℝ³ 공간에서

예를 들어, 다음과 같은 표현:

$ω = x d y + y d z$

이건 1-form입니다.
이것은 벡터 필드에 작용해서 실수값을 출력하는 선형함수의 역할을 합니다.

구분	설명
0-form	스칼라 함수 (예: $�(�,�,�)$ )
1-form	미분형식 (예: $�(�)��+�(�)��$ )
2-form	면적에 작용 (예: $�(�)��\land��$ )
k-form	k차 미분형식, k차원 면적에 작용

왜 1-form을 적분하는가?

1. 곡선을 따라 어떤 물리량의 총합을 구하기 위해

1-form은 방향을 가진 양(벡터)에 작용해 실수값을 주는 함수이므로,
→ 곡선 위를 따라 1-form을 적분하면 그 경로를 따라 작용한 누적된 총량을 의미합니다.
실제 예:
- 힘(1-form) × 이동 거리 = 일(work)
- 전기장(1-form)을 따라 이동한 전하가 받는 전위차

즉, “경로에 따라 누적된 효과”를 구하는 것이 목적입니다.

2. 벡터장 대신 1-form을 적분하는 이유

어떤 벡터장을 1-form으로 바꾸면 그 자체가 선형함수로 곡선에 작용하는 도구가 됩니다.
따라서 복잡한 방향 문제 없이 좌표계 불변적인 방법으로 적분 가능.

일반화된 기본정리 (Stokes’ Theorem)

이는 고차원에서도 동일하게 확장됩니다:

$\int_{\partial D} ω = \int_{D} d ω$

$ω$ : $(k - 1)$ -form
$d ω$ : k-form
$\partial D$ : D의 경계
즉, “경계에서의 적분은 내부에서의 외미분 적분과 같다”

구분

설명

1-form 적분

곡선 위에서 누적된 변화량 또는 물리량의 총합

FTC in forms

$\int��=�(�)-�(�)$

왜 적분?

경로를 따라 물리적, 수학적 총량을 구하기 위해

Stokes 정리

1-form과 기울기의 관계

1. 기울기(gradient):

스칼라 함수 $f (x, y, z)$ 의 변화율을 나타내는 벡터입니다.

$\nabla f = (\partial x \partial f, \partial y \partial f, \partial z \partial f)$

2. 1-form $df$ :

함수 $f$ 의 미분 형식, 즉 gradient의 쌍대(dual)
벡터가 아니라 covector입니다.

$df = \partial x \partial f d x + \partial y \partial f d y + \partial z \partial f d z$

그래서 1-form은 뭐냐?

1-form은 벡터(기울기)를 받아 실수값을 출력하는 함수입니다.
즉, 기울기를 표현하는 또 다른 방식이며, 기울기의 작용자 형태라고 볼 수 있습니다.

항목	기울기 (Gradient)	1-form $��$
정체	벡터 (vector field)	쌍대벡터 / 미분형식 (covector, 1-form)
의미	어느 방향으로 f가 가장 빨리 증가하는가	f의 변화를 곡선을 따라 측정
수학적 형태	$\nabla�$	$��=\nabla�\cdot��$
작용 대상 예를 들어 위치 $v$ 에서 방향 $u$ 로 움직일 때, 기울기 벡터 $\nabla f$ 와 방향 벡터 $u$ 의 내적은: $\nabla f \cdot u = df (u)$ 즉, 기울기를 내적하는 행위 = 1-form이 벡터에 작용하는 것입니다. 결론 1-form은 기울기와 본질적으로 연결되어 있지만, 기울기 그 자체라기보다 “기울기가 벡터에 작용하는 형태”를 나타냅니다. 기울기는 벡터, 1-form은 그 벡터가 작용하는 함수 표현이라고 보면 됩니다. 핵심 구조: 1-form과 tangent space 1. Tangent space $T_{p} M$ 어떤 점 $p$ 에서의 tangent space는, 그 점을 지나가는 모든 가능한 곡선들의 접벡터들이 모인 공간입니다. $T_{p} M ∋ v$ 2. 1-form $ω$ 는 $T_{p} M$ 의 dual 1-form은 $T_{p} M$ 에 속하는 벡터들을 받아서 실수를 반환하는 함수: $ω : T_{p} M \to R$ 즉, 1-form은 벡터(예: $v$ )를 “어떤 방향으로 얼마나 변했는가”로 압축해서 나타냅니다. Projection과의 관계 1. 벡터를 방향으로 “투영” (project)하는 효과 $ω (v)$ 는, 벡터 $v$ 가 1-form이 지정한 방향으로 얼마나 기여하는지를 나타냄 → 스칼라값 = 투영된 양입니다. 2. Gradient와의 관계 기울기(gradient)는 실제 벡터지만, 그걸 기반으로 만든 $df$ 는 어떤 방향의 벡터가 주어졌을 때, 그 방향으로 투영한 변화율을 계산합니다. 예제 정리 함수 $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ Gradient: $\nabla f = (2 x, 2 y)$ 1-form: $df = 2 x d x + 2 y d y$ 어떤 벡터 $v = (a, b)$ 에 대해: $df (v) = 2 x \cdot a + 2 y \cdot b = \nabla f \cdot v$ → 즉, tangent vector를 gradient 방향으로 투영한 양과 동일합니다. 결론 1-form은 tangent space 위의 벡터들을 특정 방향(gradient 방향 등)으로 투영해 스칼라값을 반환하는 작용자이며, 이는 기하적으로 ‘projection’과 같은 효과입니다. 이걸 바탕으로, Stokes 정리나 보존장 여부도 1-form과 tangent space의 상호작용으로 설명됩니다.	방향 벡터에 사용됨

두 개의 숫자로 세상을 그릴 수 있을까? 곡률 이야기

Posted on 5월 19, 20255월 19, 2025 by dailytechletter

1. 신기한 표면 여행의 시작

여러분, 혹시 공을 만져본 적 있나요? 아니면 평평한 책상이나, 동그란 도넛, 미끄럼틀, 그리고 구불구불한 산길을 본 적이 있나요?
이 모든 것들은 우리 주변에서 쉽게 볼 수 있는 ‘표면’이에요.
표면이란, 어떤 물건의 겉면, 즉 우리가 손으로 만질 수 있는 바깥 부분을 말해요.

그런데 이런 표면들은 모두 똑같이 생겼을까요? 아니에요!
공은 둥글고, 책상은 평평하고, 도넛은 가운데 구멍이 뚫려 있죠.
그럼, 이 표면들이 얼마나 ‘휘어져’ 있는지, 혹은 ‘평평’한지,
아주 똑똑한 수학자들은 어떻게 알 수 있었을까요?

오늘은 여러분과 함께 ‘표면의 휘어짐’을 알아보는 신기한 여행을 떠나볼 거예요.
그리고 놀랍게도, 이 신기한 표면을 단 두 개의 숫자로 설명할 수 있다는 사실도 알려줄 거예요!

2. 표면은 왜 휘어질까?

먼저, 표면이 휘어졌다는 게 무슨 뜻일까요?
우리 주변에서 쉽게 볼 수 있는 세 가지 표면을 생각해봐요.

책상 위: 완전히 평평해요.
농구공: 둥글게 휘어져 있어요.
미끄럼틀: 위에서 아래로 구불구불 휘어져 있죠.

책상 위에 구슬을 올려놓으면 구슬은 움직이지 않아요.
하지만 미끄럼틀 위에 올려놓으면 구슬이 아래로 굴러가요.
왜냐하면 미끄럼틀은 휘어져 있기 때문이에요.

이처럼, 표면이 휘어져 있으면 그 위에 있는 물건이나 사람, 심지어 빗방울도 움직임이 달라져요.
그래서 수학자들은 표면이 얼마나 휘어져 있는지 궁금해졌어요.

3. 신기한 곡률의 세계

수학자 가우스 아저씨는 이런 표면의 휘어짐을 ‘곡률’이라는 이름으로 정리했어요.
곡률은 표면이 얼마나 휘어져 있는지를 나타내는 숫자예요.

예를 들어,

완전히 평평한 책상의 곡률은 0이에요.
둥근 농구공의 곡률은 양수(+)예요.
말 안장처럼 생긴 표면의 곡률은 음수(-)예요.

여기서 궁금증!
곡률은 어떻게 정할 수 있을까요?
바로, ‘두 개의 숫자’만 알면 된답니다!

4. 두 개의 숫자로 표면을 설명해요!

여러분, 표면 위의 한 점을 콕 찍어서 그 점을 자세히 들여다본다고 상상해보세요.

그 점에서 여러 방향으로 곡선을 그릴 수 있어요.
예를 들어, 농구공 위의 한 점을 콕 찍으면,

앞뒤 방향
좌우 방향
으로 곡선을 그릴 수 있죠.

이때,

가장 많이 휘어진 방향의 곡률을 ‘첫 번째 숫자’
가장 적게 휘어진 방향의 곡률을 ‘두 번째 숫자’
라고 해요.

이 두 숫자를 곱하면, 바로 그 점의 ‘가우스 곡률’이 되는 거예요!

5. 예시로 알아보는 곡률

(1) 평평한 책상

책상 위의 어느 점을 콕 찍어도,
앞으로 가도, 옆으로 가도, 곡선이 전혀 없어요.
즉, 곡률이 0이에요.

첫 번째 숫자: 0
두 번째 숫자: 0
곱하면? 0 × 0 = 0

(2) 둥근 농구공

농구공 위의 어느 점을 콕 찍어도,
앞으로 가도, 옆으로 가도, 똑같이 둥글게 휘어져 있어요.
예를 들어,

첫 번째 숫자: 1
두 번째 숫자: 1
곱하면? 1 × 1 = 1

즉, 농구공은 곡률이 항상 양수예요.

(3) 말 안장

말 안장처럼 생긴 표면을 상상해보세요.
앞뒤로는 위로 휘어져 있고,
좌우로는 아래로 휘어져 있어요.

첫 번째 숫자: 1 (위로 휘어짐)
두 번째 숫자: -1 (아래로 휘어짐)
곱하면? 1 × (-1) = -1

즉, 말 안장 표면은 곡률이 음수예요.

6. 도넛(토러스) 이야기

여러분, 도넛을 본 적 있죠?
도넛도 아주 재미있는 표면이에요.

도넛의 바깥쪽(둥근 부분)은 농구공처럼 곡률이 양수예요.
안쪽(가운데 구멍 근처)은 말 안장처럼 곡률이 음수예요.
도넛의 옆면(가장자리)은 곡률이 0, 즉 평평해요.

도넛을 만지면서,
“여기는 휘어져 있네!”
“여기는 평평하네!”
라고 생각해볼 수 있어요.

7. 곡률은 어디에 쓰일까?

곡률은 단순히 수학책에만 있는 것이 아니에요.
우리 생활 곳곳에서 곡률이 쓰이고 있어요.

(1) 미끄럼틀

미끄럼틀이 너무 많이 휘어져 있으면 위험하겠죠?
적당한 곡률을 가진 미끄럼틀이 안전해요.

(2) 자동차 타이어

자동차 타이어도 둥글둥글하게 만들어야 잘 굴러가고,
도로에 잘 닿을 수 있어요.
이때도 곡률이 중요해요.

(3) 우주와 별

과학자들은 곡률을 이용해서
우주가 얼마나 휘어져 있는지,
별과 행성들이 어떻게 움직이는지 연구해요.

8. 곡률로 세상을 보는 눈

여러분, 곡률을 알면 세상을 다르게 볼 수 있어요.
공을 볼 때,
“아, 이건 곡률이 양수구나!”
책상을 볼 때,
“이건 곡률이 0이네!”
도넛을 볼 때,
“여기는 곡률이 음수, 여기는 양수, 여기는 0이구나!”
이렇게 생각할 수 있죠.

9. 곡률로 그리는 상상 여행

이제 곡률로 상상 여행을 떠나볼까요?

만약 지구가 완전히 평평하다면,
우리는 끝없이 똑바로 걸을 수 있을 거예요.
만약 지구가 농구공처럼 둥글다면,
계속 걸으면 언젠가 출발점으로 돌아오겠죠?
만약 지구가 말 안장처럼 휘어져 있다면,
걸으면 걸을수록 점점 더 멀어질 거예요.

이렇게 곡률은 우리가 사는 세상,
그리고 우주 전체의 모양을 알려주는 아주 중요한 역할을 해요.

10. 마무리 이야기

여러분, 오늘은 표면의 휘어짐, 곡률에 대해 배워봤어요.
그리고 단 두 개의 숫자로 표면을 설명할 수 있다는 것도 알았죠!

다음에 공을 만지거나, 책상 위에 앉아 있거나,
도넛을 먹을 때,
“이건 곡률이 몇일까?”
생각해보면 어떨까요?

수학은 어렵고 딱딱한 것이 아니라,
우리 일상 속에 숨어 있는 재미있는 이야기랍니다!

여러분도 곡률로 세상을 새롭게 바라보는 작은 수학자가 되어보세요!

<부록: 곡률 퀴즈!>

평평한 종이의 곡률은 몇일까요?
농구공의 곡률은 양수일까요, 음수일까요?
도넛의 안쪽과 바깥쪽 곡률은 각각 어떤가요?
곡률이 0인 곳은 어디일까요?
곡률을 이용해 우리가 알 수 있는 것은 무엇일까요?

정답은 여러분이 직접 찾아보세요!
(힌트: 오늘 읽은 이야기 속에 다 있어요!)

곡률이 일상에서 쓰이는 예시

1. 자동차 타이어와 도로

자동차 타이어의 둥근 모양은 곡률을 고려해 설계됩니다. 곡률이 적당해야 타이어가 도로와 잘 맞닿아 미끄러지지 않고, 빗길이나 눈길에서도 안전하게 달릴 수 있습니다. 도로의 곡선(커브)도 곡률을 계산해 설계해야 자동차가 안전하게 돌 수 있습니다.

2. 다리와 건축물

현수교나 아치형 다리, 에펠탑 같은 건축물은 곡면(곡률)을 활용해 무게를 잘 분산시키고, 튼튼하게 만들 수 있습니다. 다리의 곡률이 적절해야 무너지지 않고 오랫동안 안전하게 사용할 수 있습니다.

3. 위성 안테나와 접시

위성 안테나나 위성 접시는 주로 포물선(특정 곡률을 가진 곡선) 모양입니다. 이렇게 하면 신호가 한 곳에 잘 모이기 때문에 TV나 인터넷 신호를 더 잘 받을 수 있습니다.

4. 음료수 캔, 고깔모자, 공

우리가 자주 쓰는 음료수 캔, 고깔모자, 공 등도 모두 곡면을 가지고 있습니다. 곡률을 잘 활용하면 튼튼하면서도 예쁜 모양을 만들 수 있습니다.

5. 빛과 렌즈

안경, 카메라, 망원경의 렌즈도 곡률을 이용해 빛을 한 곳에 모으거나 퍼뜨리게 만듭니다. 곡률을 조절해 시력을 교정하거나, 더 멀리 있는 것을 또렷하게 볼 수 있게 해줍니다

6. 로봇과 인공지능

로봇 청소기 바퀴나 몸체도 곡률을 고려해 설계합니다. 곡률이 알맞아야 장애물을 잘 피해 다니고, 넘어지지 않게 움직일 수 있습니다.

일상에서 곡률을 활용하는 방법

안전한 길 만들기: 곡률을 이용해 도로의 커브를 설계하면, 자동차가 미끄러지지 않고 안전하게 돌 수 있습니다.
튼튼한 구조물 만들기: 다리나 건물의 곡률을 계산해 무게를 잘 분산시키면, 더 튼튼하고 오래가는 건축물을 만들 수 있습니다.
더 잘 보이는 렌즈 만들기: 안경, 카메라, 망원경의 렌즈 곡률을 조절해 더 선명하게 볼 수 있습니다.
효율적인 신호 수신: 위성 안테나에 곡률을 적용해 신호를 더 잘 받을 수 있습니다.
예쁜 디자인과 실용성: 곡면을 이용해 예쁘고 튼튼한 물건(캔, 공, 모자 등)을 만들 수 있습니다.

이처럼 곡률은 우리가 매일 사용하는 물건부터, 도로, 다리, 건물, 심지어 우주를 연구하는 데까지 다양하게 쓰이고 있습니다. 곡률을 이해하면, 세상을 더 안전하고 편리하게 만들 수 있습니다!

인공지능을 움직이는 숨은 힘, 선형대수 이야기

Posted on 5월 19, 20255월 19, 2025 by dailytechletter

1. 인공지능, 그 신비로운 마법의 실체

여러분은 인공지능(AI)이라고 하면 어떤 장면이 떠오르시나요?
스마트폰에서 “오늘 날씨 알려줘!”라고 말하면 척척 대답하는 음성비서, 사진 속 인물을 알아맞히는 카메라, 스스로 운전하는 자동차까지.
이 모든 기술의 바탕에는 ‘수학’이라는 든든한 토대가 있습니다.
그 중에서도 ‘선형대수’라는 분야가 인공지능의 심장처럼 핵심 역할을 하고 있다는 사실, 알고 계셨나요?

오늘은 이 선형대수가 무엇인지, 그리고 어떻게 우리의 일상과 연결되어 있는지, 쉽고 재미있게 풀어보려 합니다.
수학에 대한 두려움은 잠시 접어두고, 한 편의 이야기를 따라가 보시죠.

2. 벡터, 숫자들의 행진

“위치”를 나타내는 숫자들

어린 시절, 보물찾기를 할 때를 떠올려봅시다.
“놀이터에서 동쪽으로 3걸음, 북쪽으로 4걸음 가면 보물이 있다!”
이렇게 방향과 거리를 알려주는 것이 바로 ‘벡터(Vector)’입니다.

예시 1: 보물찾기

동쪽으로 3걸음, 북쪽으로 4걸음
이걸 수학적으로는 (3, 4)라고 씁니다.

이렇게 두 개의 숫자가 모여 한 점을 찍는 것, 이것이 바로 2차원 벡터입니다.
만약 3차원, 즉 위아래까지 포함한다면 (3, 4, 5)처럼 세 개의 숫자를 쓸 수도 있죠.

벡터의 또 다른 예

택시 기사님이 “현 위치에서 북쪽으로 2km, 동쪽으로 1km 가면 목적지”라고 할 때
스마트폰 지도에서 내 위치와 목적지까지의 거리와 방향을 보여줄 때

이 모든 것이 벡터의 실제 모습입니다.

3. 벡터의 내적, 두 벡터의 친밀도 측정

“함께 가는 길”의 수학

보물찾기에서 친구와 각자 다른 방향으로 걸어간다고 상상해봅시다.
한 명은 동쪽으로, 한 명은 북동쪽으로.
두 사람이 얼마나 비슷한 방향으로 가고 있는지, 혹은 전혀 다른 방향인지 궁금하다면 어떻게 할까요?

여기서 등장하는 것이 바로 ‘내적(Dot Product)’입니다.
내적은 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하고 있는지, 즉 친밀도를 수치로 나타내줍니다.

예시 2: 내적의 의미

두 사람이 같은 방향(예: 둘 다 동쪽)으로 가면 내적은 크고,
서로 반대 방향(한 명은 동쪽, 한 명은 서쪽)으로 가면 내적은 음수,
서로 직각(한 명은 동쪽, 한 명은 북쪽)으로 가면 내적은 0이 됩니다.

일상 속 내적

음악 추천 서비스가 내 취향과 비슷한 곡을 찾아줄 때, 내적 개념을 사용합니다.
내가 좋아하는 영화와 비슷한 영화를 추천할 때도, 두 영화의 ‘특성 벡터’ 내적을 비교합니다.

4. 행렬, 숫자들의 테이블

“엑셀 표”와 같은 행렬

회사에서 엑셀 파일을 열면 행과 열로 이루어진 표가 보입니다.
이 표가 바로 ‘행렬(Matrix)’입니다.

예시 3: 학생 성적표

이름	국어	영어	수학
철수	90	80	100
영희	85	95	90
민수	70	60	80

이렇게 여러 명의 학생 점수를 행렬로 표현할 수 있습니다.

행렬의 역할

여러 벡터를 한꺼번에 다루고,
복잡한 연산을 한 번에 처리할 수 있습니다.

예시 4: 사진 편집

스마트폰으로 찍은 사진을 흑백으로 바꾼다거나, 밝기를 조절할 때
사진의 각 픽셀(점)을 숫자로 바꾼 뒤, 행렬 연산을 통해 한 번에 변환합니다.

5. 선형 방정식, 평면과 직선의 만남

“길이 만나는 곳”이 해답

수학 시간에 배운 ‘ax + by = c’ 같은 1차 방정식을 기억하시나요?
이 식은 2차원 평면에서 ‘직선’을 의미합니다.

예시 5: 두 직선의 교차점

“x + y = 5”와 “x – y = 1”이라는 두 직선이 만나는 점을 찾는 것.
이 점이 바로 두 식을 동시에 만족하는 해(solution)입니다.

3차원에서는?

“ax + by + cz = d”는 3차원 공간에서 ‘평면’을 나타냅니다.
여러 평면이 만나서 한 점에서 교차할 수도, 아예 만나지 않을 수도 있습니다.

예시 6: GPS 위치 찾기

위성 3개가 보내는 신호를 받아, 내 위치를 3차원 공간에서 계산하는 원리도 선형 방정식과 같습니다.

6. 인공지능과 선형대수, 떼려야 뗄 수 없는 관계

“데이터”는 곧 벡터와 행렬

인공지능이 세상을 이해하는 방법은 바로 ‘숫자’입니다.
사진, 소리, 글자, 모두 숫자로 바꿔서 계산합니다.

예시 7: 얼굴 인식

내 얼굴 사진을 수만 개의 숫자(픽셀)로 바꿔 벡터로 만듭니다.
여러 사람의 얼굴 데이터를 행렬로 모아놓고, 서로 비교합니다.

딥러닝의 신경망

뇌의 신경세포처럼 수많은 연결고리를 가진 인공신경망도,
결국은 벡터와 행렬의 연산으로 작동합니다.
입력(예: 사진) → 행렬 연산 → 출력(예: “이 사람은 철수입니다!”)

예시 8: 번역기

한글 문장을 영어로 바꿀 때도, 각 단어를 숫자 벡터로 변환한 뒤
복잡한 행렬 연산을 통해 새로운 문장으로 바꿉니다.

7. 선형대수, 어렵지 않아요!

“수학”이 아닌 “언어”로 생각하기

벡터는 방향과 거리,
행렬은 표,
내적은 친밀도,
선형 방정식은 만남의 장소.

이렇게 일상 속의 이야기로 바꿔 생각하면, 선형대수는 더 이상 두렵지 않습니다.

직접 해보는 작은 실험

지도에서 내 위치를 (x, y)로 표시해보기
엑셀로 가족의 키와 몸무게를 표로 만들어보기
스마트폰 사진을 확대/축소할 때, 숫자가 어떻게 바뀌는지 상상해보기

8. 마치며: 인공지능 시대, 우리 모두를 위한 수학

인공지능이 점점 더 우리 삶에 깊숙이 들어오고 있습니다.
이제는 수학자나 과학자만이 아니라, 우리 모두가 인공지능의 원리를 이해해야 할 시대입니다.

선형대수는 그 시작점이자,
세상을 숫자로 바라보는 새로운 창입니다.

다음에 스마트폰이 “오늘 날씨는 맑음!”이라고 알려줄 때,
그 뒤에서 수많은 벡터와 행렬이 바쁘게 움직이고 있다는 사실을 떠올려보세요.

수학이 조금 더 친근하게 느껴지지 않으신가요?

유튜브 채널에서 더 자세한 내용 확인해보세요!

https://www.youtube.com/watch?v=KKGfjhs_26M&t=2s

How to Describe an Entire Surface with Just Two Numbers

Posted on 5월 19, 20255월 19, 2025 by dailytechletter

“리만 기하학(Riemannian geometry)이 결국 대수적인 구조로 환원된다”는 말은 기하학적 개념들이 전부 대수적 객체(예: 텐서, 내적, 행렬 등)로 표현되고 조작 가능하다는 의미입니다.

아래에 그 구조를 설명해 드릴게요.

리만 기하학은 왜 대수인가?

리만 기하학은 곡률 있는 공간에서의 “거리”, “각도”, “기울기”, “부피” 같은 기하학적 개념을 다룹니다.그런데 이 모든 개념은 다음과 같은 대수 구조로 정식화됩니다.

1. 리만 계량(Riemannian Metric) = 대칭 2차 텐서

각 점 �∈�p∈M에서,

��:���×���→�gp​:Tp​M×Tp​M→R

즉, 두 벡터 �,�∈���v,w∈Tp​M의 내적을 정의하는 양의 정부호 대칭 이중선형 함수입니다.

결과적으로 g는 좌표계에서 (n × n) 행렬처럼 다뤄집니다.

2. 기하학적 연산 = 텐서 대수

리만 기하가 “완전히 대수적”이라는 이유

리만 기하학의 대상: 다양체 �M

리만 기하학의 구조: 계량 텐서 �g

리만 기하학의 연산: 미분 + 텐서 연산

결국, 모든 계산은벡터공간 위의 이중선형함수(텐서),**그에 대한 대수적 조작(계산)**으로 환원됩니다.

예: 리만 곡률 텐서

리만 기하의 핵심인 곡률도 이런 식으로 정의됩니다:

�(�,�)�=∇�∇��−∇�∇��−∇[�,�]�R(X,Y)Z=∇X​∇Y​Z−∇Y​∇X​Z−∇[X,Y]​Z

→ 이걸 좌표계에서 성분으로 바꾸면,완전히 지표 � ����R jkli​를 갖는 다항식 텐서 연산입니다.

결론

즉, 기하학적 의미 + 대수적 연산 구조가 결합된 학문이며,현대 물리학 (예: 일반상대성이론)의 핵심 도구가 되는 이유이기도 합니다.

“1-form”은 미분기하학(differential geometry)이나 미분형식(differential forms) 이론에서 **정확히 ‘미분형식’**입니다. 구체적으로는

✅ 1-form이란?

1-form은 1차 미분형식입니다.수학적으로는 벡터공간의 쌍대공간(dual space)에 속하는 선형 함수이고,보다 직관적으로 말하면:

어떤 방향의 벡터가 주어졌을 때, 그것에 “작용해서 실수값을 주는 함수

예시: ℝ³ 공간에서

예를 들어, 다음과 같은 표현:

�=� ��+� ��ω=xdy+ydz

이건 1-form입니다.이것은 벡터 필드에 작용해서 실수값을 출력하는 선형함수의 역할을 합니다.

구분

설명

0-form

스칼라 함수 (예: �(�,�,�))

1-form

미분형식 (예: �(�)��+�(�)��)

2-form

면적에 작용 (예: �(�)��∧��)

k-form

k차 미분형식, k차원 면적에 작용

왜 1-form을 적분하는가?

1. 곡선을 따라 어떤 물리량의 총합을 구하기 위해

1-form은 방향을 가진 양(벡터)에 작용해 실수값을 주는 함수이므로,→ 곡선 위를 따라 1-form을 적분하면 그 경로를 따라 작용한 누적된 총량을 의미합니다.

실제 예:

힘(1-form) × 이동 거리 = 일(work)

전기장(1-form)을 따라 이동한 전하가 받는 전위차

즉, “경로에 따라 누적된 효과”를 구하는 것이 목적입니다.

2. 벡터장 대신 1-form을 적분하는 이유

어떤 벡터장을 1-form으로 바꾸면 그 자체가 선형함수로 곡선에 작용하는 도구가 됩니다.

따라서 복잡한 방향 문제 없이 좌표계 불변적인 방법으로 적분 가능.

일반화된 기본정리 (Stokes’ Theorem)

이는 고차원에서도 동일하게 확장됩니다:

∫∂��=∫���∫∂D​ω=∫D​dω

�ω: (�−1)(k−1)-form

��dω: k-form

∂�∂D: D의 경계

즉, “경계에서의 적분은 내부에서의 외미분 적분과 같다”

구분

설명

1-form 적분

곡선 위에서 누적된 변화량 또는 물리량의 총합

FTC in forms

∫���=�(�)−�(�)

왜 적분?

경로를 따라 물리적, 수학적 총량을 구하기 위해

Stokes 정리

1-form과 기울기의 관계

1. 기울기(gradient):

스칼라 함수 �(�,�,�)f(x,y,z)의 변화율을 나타내는 벡터입니다.

∇�=(∂�∂�,∂�∂�,∂�∂�)∇f=(∂x∂f​,∂y∂f​,∂z∂f​)

2. 1-form ��df:

함수 �f의 미분 형식, 즉 gradient의 쌍대(dual)벡터가 아니라 covector입니다.

��=∂�∂���+∂�∂���+∂�∂���df=∂x∂f​dx+∂y∂f​dy+∂z∂f​dz

그래서 1-form은 뭐냐?

1-form은 벡터(기울기)를 받아 실수값을 출력하는 함수입니다.

즉, 기울기를 표현하는 또 다른 방식이며, 기울기의 작용자 형태라고 볼 수 있습니다.

항목

기울기 (Gradient)

1-form ��

정체

벡터 (vector field)

리만 기하학은 곡률 있는 공간에서의 “거리”, “각도”, “기울기”, “부피” 같은 기하학적 개념을 다룹니다.
그런데 이 모든 개념은 다음과 같은 대수 구조로 정식화됩니다.

각 점 $p \in M$ 에서,

$g_{p} : T_{p} M \times T_{p} M \to R$

즉, 두 벡터 $v, w \in T_{p} M$ 의 내적을 정의하는 양의 정부호 대칭 이중선형 함수입니다.

리만 기하학의 대상: 다양체 $M$

리만 기하학의 구조: 계량 텐서 $g$

결국, 모든 계산은
벡터공간 위의 이중선형함수(텐서),
그에 대한 대수적 조작(계산)으로 환원됩니다.

$R (X, Y) Z = \nabla_{X} \nabla_{Y} Z - \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{[X, Y]} Z$

→ 이걸 좌표계에서 성분으로 바꾸면,
완전히 지표 $R_{jk l i}$ 를 갖는 다항식 텐서 연산입니다.

즉, 기하학적 의미 + 대수적 연산 구조가 결합된 학문이며,
현대 물리학 (예: 일반상대성이론)의 핵심 도구가 되는 이유이기도 합니다.

“1-form”은 미분기하학(differential geometry)이나 미분형식(differential forms) 이론에서 정확히 ‘미분형식’입니다. 구체적으로는

1-form은 1차 미분형식입니다.
수학적으로는 벡터공간의 쌍대공간(dual space)에 속하는 선형 함수이고,
보다 직관적으로 말하면:

$ω = x d y + y d z$

이건 1-form입니다.
이것은 벡터 필드에 작용해서 실수값을 출력하는 선형함수의 역할을 합니다.

스칼라 함수 (예: $�(�,�,�)$ )

미분형식 (예: $�(�)��+�(�)��$ )

면적에 작용 (예: $�(�)��\land��$ )

1-form은 방향을 가진 양(벡터)에 작용해 실수값을 주는 함수이므로,
→ 곡선 위를 따라 1-form을 적분하면 그 경로를 따라 작용한 누적된 총량을 의미합니다.

$\int_{\partial D} ω = \int_{D} d ω$

$ω$ : $(k - 1)$ -form

$d ω$ : k-form

$\partial D$ : D의 경계

$\int��=�(�)-�(�)$

스칼라 함수 $f (x, y, z)$ 의 변화율을 나타내는 벡터입니다.

$\nabla f = (\partial x \partial f, \partial y \partial f, \partial z \partial f)$

2. 1-form $df$ :

함수 $f$ 의 미분 형식, 즉 gradient의 쌍대(dual)
벡터가 아니라 covector입니다.

$df = \partial x \partial f d x + \partial y \partial f d y + \partial z \partial f d z$

1-form $��$

$\nabla�$

$��=\nabla�\cdot��$

위치 $v$ 에서 방향 $u$ 로 움직일 때,
기울기 벡터 $\nabla f$ 와 방향 벡터 $u$ 의 내적은:

$\nabla f \cdot u = df (u)$

기울기는 벡터,
1-form은 그 벡터가 작용하는 함수 표현이라고 보면 됩니다.

1. Tangent space $T_{p} M$

어떤 점 $p$ 에서의 tangent space는,
그 점을 지나가는 모든 가능한 곡선들의 접벡터들이 모인 공간입니다.

$T_{p} M ∋ v$

2. 1-form $ω$ 는 $T_{p} M$ 의 dual

1-form은 $T_{p} M$ 에 속하는 벡터들을 받아서 실수를 반환하는 함수:

$ω : T_{p} M \to R$

즉, 1-form은 벡터(예: $v$ )를 “어떤 방향으로 얼마나 변했는가”로 압축해서 나타냅니다.

$ω (v)$ 는, 벡터 $v$ 가 1-form이 지정한 방향으로 얼마나 기여하는지를 나타냄
→ 스칼라값 = 투영된 양입니다.

기울기(gradient)는 실제 벡터지만,
그걸 기반으로 만든 $df$ 는
어떤 방향의 벡터가 주어졌을 때, 그 방향으로 투영한 변화율을 계산합니다.

함수 $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$

Gradient: $\nabla f = (2 x, 2 y)$

1-form: $df = 2 x d x + 2 y d y$

어떤 벡터 $v = (a, b)$ 에 대해:

$df (v) = 2 x \cdot a + 2 y \cdot b = \nabla f \cdot v$

오늘은 여러분과 함께 ‘표면의 휘어짐’을 알아보는 신기한 여행을 떠나볼 거예요.
그리고 놀랍게도, 이 신기한 표면을 단 두 개의 숫자로 설명할 수 있다는 사실도 알려줄 거예요!

먼저, 표면이 휘어졌다는 게 무슨 뜻일까요?
우리 주변에서 쉽게 볼 수 있는 세 가지 표면을 생각해봐요.

책상 위에 구슬을 올려놓으면 구슬은 움직이지 않아요.
하지만 미끄럼틀 위에 올려놓으면 구슬이 아래로 굴러가요.
왜냐하면 미끄럼틀은 휘어져 있기 때문이에요.

이처럼, 표면이 휘어져 있으면 그 위에 있는 물건이나 사람, 심지어 빗방울도 움직임이 달라져요.
그래서 수학자들은 표면이 얼마나 휘어져 있는지 궁금해졌어요.

수학자 가우스 아저씨는 이런 표면의 휘어짐을 ‘곡률’이라는 이름으로 정리했어요.
곡률은 표면이 얼마나 휘어져 있는지를 나타내는 숫자예요.

여기서 궁금증!
곡률은 어떻게 정할 수 있을까요?
바로, ‘두 개의 숫자’만 알면 된답니다!

그 점에서 여러 방향으로 곡선을 그릴 수 있어요.
예를 들어, 농구공 위의 한 점을 콕 찍으면,

좌우 방향
으로 곡선을 그릴 수 있죠.

가장 적게 휘어진 방향의 곡률을 ‘두 번째 숫자’
라고 해요.