인공지능을 움직이는 숨은 힘, 선형대수 이야기

1. 인공지능, 그 신비로운 마법의 실체

여러분은 인공지능(AI)이라고 하면 어떤 장면이 떠오르시나요?
스마트폰에서 “오늘 날씨 알려줘!”라고 말하면 척척 대답하는 음성비서, 사진 속 인물을 알아맞히는 카메라, 스스로 운전하는 자동차까지.
이 모든 기술의 바탕에는 ‘수학’이라는 든든한 토대가 있습니다.
그 중에서도 ‘선형대수’라는 분야가 인공지능의 심장처럼 핵심 역할을 하고 있다는 사실, 알고 계셨나요?

오늘은 이 선형대수가 무엇인지, 그리고 어떻게 우리의 일상과 연결되어 있는지, 쉽고 재미있게 풀어보려 합니다.
수학에 대한 두려움은 잠시 접어두고, 한 편의 이야기를 따라가 보시죠.

2. 벡터, 숫자들의 행진

“위치”를 나타내는 숫자들

어린 시절, 보물찾기를 할 때를 떠올려봅시다.
“놀이터에서 동쪽으로 3걸음, 북쪽으로 4걸음 가면 보물이 있다!”
이렇게 방향과 거리를 알려주는 것이 바로 ‘벡터(Vector)’입니다.

예시 1: 보물찾기

• 동쪽으로 3걸음, 북쪽으로 4걸음
• 이걸 수학적으로는 (3, 4)라고 씁니다.

이렇게 두 개의 숫자가 모여 한 점을 찍는 것, 이것이 바로 2차원 벡터입니다.
만약 3차원, 즉 위아래까지 포함한다면 (3, 4, 5)처럼 세 개의 숫자를 쓸 수도 있죠.

벡터의 또 다른 예

• 택시 기사님이 “현 위치에서 북쪽으로 2km, 동쪽으로 1km 가면 목적지”라고 할 때
• 스마트폰 지도에서 내 위치와 목적지까지의 거리와 방향을 보여줄 때

이 모든 것이 벡터의 실제 모습입니다.

3. 벡터의 내적, 두 벡터의 친밀도 측정

“함께 가는 길”의 수학

보물찾기에서 친구와 각자 다른 방향으로 걸어간다고 상상해봅시다.
한 명은 동쪽으로, 한 명은 북동쪽으로.
두 사람이 얼마나 비슷한 방향으로 가고 있는지, 혹은 전혀 다른 방향인지 궁금하다면 어떻게 할까요?

여기서 등장하는 것이 바로 ‘내적(Dot Product)’입니다.
내적은 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하고 있는지, 즉 친밀도를 수치로 나타내줍니다.

예시 2: 내적의 의미

• 두 사람이 같은 방향(예: 둘 다 동쪽)으로 가면 내적은 크고,
• 서로 반대 방향(한 명은 동쪽, 한 명은 서쪽)으로 가면 내적은 음수,
• 서로 직각(한 명은 동쪽, 한 명은 북쪽)으로 가면 내적은 0이 됩니다.

일상 속 내적

• 음악 추천 서비스가 내 취향과 비슷한 곡을 찾아줄 때, 내적 개념을 사용합니다.
• 내가 좋아하는 영화와 비슷한 영화를 추천할 때도, 두 영화의 ‘특성 벡터’ 내적을 비교합니다.

4. 행렬, 숫자들의 테이블

“엑셀 표”와 같은 행렬

회사에서 엑셀 파일을 열면 행과 열로 이루어진 표가 보입니다.
이 표가 바로 ‘행렬(Matrix)’입니다.

예시 3: 학생 성적표

이렇게 여러 명의 학생 점수를 행렬로 표현할 수 있습니다.

행렬의 역할

• 여러 벡터를 한꺼번에 다루고,
• 복잡한 연산을 한 번에 처리할 수 있습니다.

예시 4: 사진 편집

스마트폰으로 찍은 사진을 흑백으로 바꾼다거나, 밝기를 조절할 때
사진의 각 픽셀(점)을 숫자로 바꾼 뒤, 행렬 연산을 통해 한 번에 변환합니다.

5. 선형 방정식, 평면과 직선의 만남

“길이 만나는 곳”이 해답

수학 시간에 배운 ‘ax + by = c’ 같은 1차 방정식을 기억하시나요?
이 식은 2차원 평면에서 ‘직선’을 의미합니다.

예시 5: 두 직선의 교차점

• “x + y = 5”와 “x - y = 1”이라는 두 직선이 만나는 점을 찾는 것.
• 이 점이 바로 두 식을 동시에 만족하는 해(solution)입니다.

3차원에서는?

• “ax + by + cz = d”는 3차원 공간에서 ‘평면’을 나타냅니다.
• 여러 평면이 만나서 한 점에서 교차할 수도, 아예 만나지 않을 수도 있습니다.

예시 6: GPS 위치 찾기

• 위성 3개가 보내는 신호를 받아, 내 위치를 3차원 공간에서 계산하는 원리도 선형 방정식과 같습니다.

6. 인공지능과 선형대수, 떼려야 뗄 수 없는 관계

“데이터”는 곧 벡터와 행렬

인공지능이 세상을 이해하는 방법은 바로 ‘숫자’입니다.
사진, 소리, 글자, 모두 숫자로 바꿔서 계산합니다.

예시 7: 얼굴 인식

• 내 얼굴 사진을 수만 개의 숫자(픽셀)로 바꿔 벡터로 만듭니다.
• 여러 사람의 얼굴 데이터를 행렬로 모아놓고, 서로 비교합니다.

딥러닝의 신경망

• 뇌의 신경세포처럼 수많은 연결고리를 가진 인공신경망도,
  결국은 벡터와 행렬의 연산으로 작동합니다.
• 입력(예: 사진) → 행렬 연산 → 출력(예: “이 사람은 철수입니다!”)

예시 8: 번역기

• 한글 문장을 영어로 바꿀 때도, 각 단어를 숫자 벡터로 변환한 뒤
  복잡한 행렬 연산을 통해 새로운 문장으로 바꿉니다.

7. 선형대수, 어렵지 않아요!

“수학”이 아닌 “언어”로 생각하기

벡터는 방향과 거리,
행렬은 표,
내적은 친밀도,
선형 방정식은 만남의 장소.

이렇게 일상 속의 이야기로 바꿔 생각하면, 선형대수는 더 이상 두렵지 않습니다.

직접 해보는 작은 실험

• 지도에서 내 위치를 (x, y)로 표시해보기
• 엑셀로 가족의 키와 몸무게를 표로 만들어보기
• 스마트폰 사진을 확대/축소할 때, 숫자가 어떻게 바뀌는지 상상해보기

8. 마치며: 인공지능 시대, 우리 모두를 위한 수학

인공지능이 점점 더 우리 삶에 깊숙이 들어오고 있습니다.
이제는 수학자나 과학자만이 아니라, 우리 모두가 인공지능의 원리를 이해해야 할 시대입니다.

선형대수는 그 시작점이자,
세상을 숫자로 바라보는 새로운 창입니다.

다음에 스마트폰이 “오늘 날씨는 맑음!”이라고 알려줄 때,
그 뒤에서 수많은 벡터와 행렬이 바쁘게 움직이고 있다는 사실을 떠올려보세요.

수학이 조금 더 친근하게 느껴지지 않으신가요? 

유튜브 채널에서 더 자세한 내용 확인해보세요! 

 https://www.youtube.com/watch?v=KKGfjhs_26M&t=2s